Lời giải
Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có $$(a^3+b^3+c^3)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4).$$
Do đó $$3a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)^2 \le 3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4) \le (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2(a^4+b^4+c^4).$$ Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ bộ ba số, ta có $$(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2(a^4+b^4+c^4)\le \frac{(a^2+b^2+c^2)^6}{27}=27.$$ Từ đó $$3a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)^2 \le 27,$$ hay $$abc(a^3+b^3+c^3) \le 3.$$ Đó chính là điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1 \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét