Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng $$abc(a^3+b^3+c^3) \le 3$$ (Trần Quốc Anh)

Lời giải
Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có $$(a^3+b^3+c^3)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4).$$
Do đó $$3a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)^2 \le 3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4) \le (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2(a^4+b^4+c^4).$$ Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ bộ ba số, ta có $$(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2(a^4+b^4+c^4)\le \frac{(a^2+b^2+c^2)^6}{27}=27.$$ Từ đó $$3a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)^2 \le 27,$$ hay $$abc(a^3+b^3+c^3) \le 3.$$ Đó chính là điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1 \ \blacksquare$

Chuyên mục: Bất đẳng thức

Họ và tên	Tăng Hải Tuân
Sinh viên	Lớp CLC - Khóa 61 - Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Hà Nội
Quê quán	Thái Dương - Thái Thụy - Thái Bình
Website	http://vatliphothong.vn
Blog	http://tanghaituan.blogspot.com
Facebook	https://www.facebook.com/TangHaiTuan.Physics
Liên hệ	01696269624