Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab+bc+ca+\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}+\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} +a+b+c\ge 2(a+b+c) +6. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ab+\dfrac{b}{a} \ge 2b, \ bc+\dfrac{c}{b} \ge 2c, \ ca+\dfrac{a}{c} \ge 2a. Cộng vế với vế ba bất đẳng thức này, ta thu được ab+bc+ca+\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2(a+b+c). \ (1) Mặt khác,
lần lượt sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + a+b+c \ge \dfrac{9}{a+b+c}+a+b+c \ge 6. \ (2)Cộng vế với vế (1) và (2) ta thu được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab+bc+ca+\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}+\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} +a+b+c\ge 2(a+b+c) +6. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ab+\dfrac{b}{a} \ge 2b, \ bc+\dfrac{c}{b} \ge 2c, \ ca+\dfrac{a}{c} \ge 2a. Cộng vế với vế ba bất đẳng thức này, ta thu được ab+bc+ca+\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2(a+b+c). \ (1) Mặt khác,
lần lượt sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + a+b+c \ge \dfrac{9}{a+b+c}+a+b+c \ge 6. \ (2)Cộng vế với vế (1) và (2) ta thu được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
0 nhận xét:
Đăng nhận xét