Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$ab+bc+ca+\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}+\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} +a+b+c\ge 2(a+b+c) +6.$$ Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có $$ ab+\dfrac{b}{a} \ge 2b, \ bc+\dfrac{c}{b} \ge 2c, \ ca+\dfrac{a}{c} \ge 2a.$$ Cộng vế với vế ba bất đẳng thức này, ta thu được $$ab+bc+ca+\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2(a+b+c). \ (1)$$ Mặt khác,
lần lượt sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$, ta có $$\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + a+b+c \ge \dfrac{9}{a+b+c}+a+b+c \ge 6. \ (2)$$Cộng vế với vế $(1)$ và $(2)$ ta thu được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$ab+bc+ca+\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}+\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} +a+b+c\ge 2(a+b+c) +6.$$ Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có $$ ab+\dfrac{b}{a} \ge 2b, \ bc+\dfrac{c}{b} \ge 2c, \ ca+\dfrac{a}{c} \ge 2a.$$ Cộng vế với vế ba bất đẳng thức này, ta thu được $$ab+bc+ca+\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2(a+b+c). \ (1)$$ Mặt khác,
lần lượt sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$, ta có $$\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + a+b+c \ge \dfrac{9}{a+b+c}+a+b+c \ge 6. \ (2)$$Cộng vế với vế $(1)$ và $(2)$ ta thu được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét