Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Schur ta có abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
Do đó ta có abc \ge 1. Bây giờ, sử dụng đánh giá trên và kết hợp bất đẳng thức quen thuộc
3abc(a+b+c) \le (ab+bc+ca)^2, ta thấy rằng \begin {align} {{3}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( a+b+c \right) & \le {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)3abc\left( a+b+c \right) \\ & \le {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}. \end{align}
Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ ba số,
dễ thấy {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}\le {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right) \right)}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{6}}. Do đó ta có
{{3}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( a+b+c \right) \le {{\left( a+b+c \right)}^{6}} Hay tương đương \left (\dfrac{a+b+c}{3}\right)^{5}\geq \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}
Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
Sử dụng bất đẳng thức Schur ta có abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
Do đó ta có abc \ge 1. Bây giờ, sử dụng đánh giá trên và kết hợp bất đẳng thức quen thuộc
3abc(a+b+c) \le (ab+bc+ca)^2, ta thấy rằng \begin {align} {{3}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( a+b+c \right) & \le {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)3abc\left( a+b+c \right) \\ & \le {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}. \end{align}
Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ ba số,
dễ thấy {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}\le {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right) \right)}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{6}}. Do đó ta có
{{3}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( a+b+c \right) \le {{\left( a+b+c \right)}^{6}} Hay tương đương \left (\dfrac{a+b+c}{3}\right)^{5}\geq \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}
Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
0 nhận xét:
Đăng nhận xét