Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức $ Schur$ ta có $$ abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$
Do đó ta có $$ abc \ge 1.$$ Bây giờ, sử dụng đánh giá trên và kết hợp bất đẳng thức quen thuộc
$$ 3abc(a+b+c) \le (ab+bc+ca)^2,$$ ta thấy rằng $$\begin {align} {{3}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( a+b+c \right) & \le {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)3abc\left( a+b+c \right) \\ & \le {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}. \end{align}$$
Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức $ AM-GM$ cho bộ ba số,
dễ thấy $$ {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}\le {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right) \right)}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{6}}.$$ Do đó ta có
$$ {{3}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( a+b+c \right) \le {{\left( a+b+c \right)}^{6}}$$ Hay tương đương $$ \left (\dfrac{a+b+c}{3}\right)^{5}\geq \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$$
Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=c=1. \ \blacksquare$
Sử dụng bất đẳng thức $ Schur$ ta có $$ abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$
Do đó ta có $$ abc \ge 1.$$ Bây giờ, sử dụng đánh giá trên và kết hợp bất đẳng thức quen thuộc
$$ 3abc(a+b+c) \le (ab+bc+ca)^2,$$ ta thấy rằng $$\begin {align} {{3}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( a+b+c \right) & \le {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)3abc\left( a+b+c \right) \\ & \le {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}. \end{align}$$
Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức $ AM-GM$ cho bộ ba số,
dễ thấy $$ {{3}^{3}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right){{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}\le {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right) \right)}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{6}}.$$ Do đó ta có
$$ {{3}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( a+b+c \right) \le {{\left( a+b+c \right)}^{6}}$$ Hay tương đương $$ \left (\dfrac{a+b+c}{3}\right)^{5}\geq \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$$
Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=c=1. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét