Chứng minh rằng, nếu $x,y,z$ là ba số thực dương sao cho $xyz=1,$ thì $$\sqrt{\frac{x}{x^3+8}}+\sqrt{\frac{y}{y^3+8}}+ \sqrt{ \frac{z}{z^3+8}}\ge \frac{9}{(x+y+z)^2}.$$

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có $$2\sqrt{x\left( {{x}^{3}}+8 \right)}=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}\le 2{{x}^{2}}+4.$$ Từ đó ta suy ra $$\sqrt{\frac{x}{x^3+8}} = \frac{x}{\sqrt{x\left( x^3+8 \right)}}\ge \frac{x}{x^2+2} = \frac{x}{x^2+2xyz}=\frac{1}{x+2yz}.$$ Thiết lập tương tự với $b$ và $c$, sau đó cộng vế theo vế, ta thu được $$\sqrt{\frac{x}{{{x}^{3}}+8}}+\sqrt{\frac{y}{{{y}^{3}}+8}}+\sqrt{\frac{z}{{{z}^{3}}+8}}\ge \frac{1}{x+2yz}+\frac{1}{y+2zx}+\frac{1}{z+2xy}.$$ Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng phân thức và chú ý là $$x+y+z=\left( x+y+z \right)\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{3}\le \left( x+y+z \right)\frac{\left( x+y+z \right)}{3}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}},$$ ta có $$\begin{align}
   \frac{1}{x+2yz}+\frac{1}{y+2zx}+\frac{1}{z+2xy} & \ge \frac{9}{x+y+z+2\left( xy+yz+zx \right)} \\
 & \ge \frac{9}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+zx \right)} \\
 & =\frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}. \\
\end{align}$$ Như vậy, $$\sqrt{\frac{x}{x^3+8}}+\sqrt{\frac{y}{y^3+8}}+ \sqrt{ \frac{z}{z^3+8}}\ge \frac{9}{(x+y+z)^2},$$ tức là bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1. \ \blacksquare$

Nhận xét rằng bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu $xyz\ge 1.$ Ngoài ra ta có kết quả mạnh , nhưng khá đẹp mắt và khá dễ.
Chứng minh rằng, nếu $x,y,z$ là ba số thực dương sao cho $xyz=1,$ thì $$\sqrt{\frac{x}{x^3+8}}+\sqrt{\frac{y}{y^3+8}}+ \sqrt{ \frac{z}{z^3+8}}\ge \left ( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{x+y+z} \right )^2.$$

Theo lời giải bên trên và sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có $$\begin{align}
 \sqrt{\frac{x}{x^3+8}}+\sqrt{\frac{y}{y^3+8}} + \sqrt{\frac{z}{z^3+8}}  & \ge \frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2} \\
 & \ge \frac{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)}^{2}}}{x^2+y^2+z^2+2.3} \\
 & \ge \frac{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)}^{2}}}{x^2+y^2+z^2+2( xy+yz+zx)} \\
 & ={{\left( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{x+y+z} \right)}^{2}}. \\
\end{align}$$ Bài toán được chứng minh xong :). $\blacksquare$

Chuyên mục: Bất đẳng thức

Họ và tên	Tăng Hải Tuân
Sinh viên	Lớp CLC - Khóa 61 - Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Hà Nội
Quê quán	Thái Dương - Thái Thụy - Thái Bình
Website	http://vatliphothong.vn
Blog	http://tanghaituan.blogspot.com
Facebook	https://www.facebook.com/TangHaiTuan.Physics
Liên hệ	01696269624