Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2\sqrt{x\left( {{x}^{3}}+8 \right)}=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}\le 2{{x}^{2}}+4. Từ đó ta suy ra \sqrt{\frac{x}{x^3+8}} = \frac{x}{\sqrt{x\left( x^3+8 \right)}}\ge \frac{x}{x^2+2} = \frac{x}{x^2+2xyz}=\frac{1}{x+2yz}. Thiết lập tương tự với b và c, sau đó cộng vế theo vế, ta thu được \sqrt{\frac{x}{{{x}^{3}}+8}}+\sqrt{\frac{y}{{{y}^{3}}+8}}+\sqrt{\frac{z}{{{z}^{3}}+8}}\ge \frac{1}{x+2yz}+\frac{1}{y+2zx}+\frac{1}{z+2xy}. Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức và chú ý là x+y+z=\left( x+y+z \right)\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{3}\le \left( x+y+z \right)\frac{\left( x+y+z \right)}{3}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}, ta có \begin{align} \frac{1}{x+2yz}+\frac{1}{y+2zx}+\frac{1}{z+2xy} & \ge \frac{9}{x+y+z+2\left( xy+yz+zx \right)} \\ & \ge \frac{9}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+zx \right)} \\ & =\frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}. \\ \end{align} Như vậy, \sqrt{\frac{x}{x^3+8}}+\sqrt{\frac{y}{y^3+8}}+ \sqrt{ \frac{z}{z^3+8}}\ge \frac{9}{(x+y+z)^2}, tức là bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1. \ \blacksquare
Nhận xét rằng bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu xyz\ge 1. Ngoài ra ta có kết quả mạnh , nhưng khá đẹp mắt và khá dễ.Theo lời giải bên trên và sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \begin{align} \sqrt{\frac{x}{x^3+8}}+\sqrt{\frac{y}{y^3+8}} + \sqrt{\frac{z}{z^3+8}} & \ge \frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2} \\ & \ge \frac{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)}^{2}}}{x^2+y^2+z^2+2.3} \\ & \ge \frac{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)}^{2}}}{x^2+y^2+z^2+2( xy+yz+zx)} \\ & ={{\left( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{x+y+z} \right)}^{2}}. \\ \end{align} Bài toán được chứng minh xong :). \blacksquare
Chứng minh rằng, nếu x,y,z là ba số thực dương sao cho xyz=1, thì \sqrt{\frac{x}{x^3+8}}+\sqrt{\frac{y}{y^3+8}}+ \sqrt{ \frac{z}{z^3+8}}\ge \left ( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{x+y+z} \right )^2.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét