Lời giải
Đặt $x=\dfrac{a}{c}, \ y=\dfrac{b}{c}$ thì ta có $x^2+xy+y^2=3$ hay $(x+y)^2-3=xy$ và ta cần chứng minh $$x^3+y^3+4xy \le 6,$$tức là ta cần
chứng minh $$x^3+y^3+4xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+4xy=(x+y)^3-3[(x+y)^2-3](x+y)+4[(x+y)^2-3] \le 6. $$ Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với $$[2-(x+y)].[2(x+y)^2-9] \le 0,$$hiển nhiên đúng bởi vì $3=x^2+xy+y^2 \ge \dfrac{3}{4}(x+y)^2$ nên $x+y \le 2$ và $2(x+y)^2-9 \le 2.4-9 = -1 < 0.$
Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$ hay $a=b=c=1. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét