Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có $$ (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc.$$ Mặt khác, ta luôn có $$ (a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc.$$ Do đó $$(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca).$$ Bây giờ, sử dụng 1
đánh giá quen thuộc $ab+bc+ca \ge \sqrt{3abc(a+b+c)}=\sqrt{3(a+b+c)}$ ta có $$(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}.$$ Như vậy, bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được $$\frac{8}{9}(a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)} \ge 4(a+b+c-1).$$ Đặt $t=\sqrt{3(a+b+c)}$, bất đẳng thức sẽ được viết lại là $$\frac{8}{27}.t^2.t \ge \frac{4}{3}.t^2-4,$$ hay tương đương $$4t^3+4t^3+108 \ge 36t^2.$$ Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$
Bài toán được chứng minh xong :).
0 nhận xét:
Đăng nhận xét