Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức
AM-GM, ta có
(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc.
Mặt khác, ta luôn có
(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc.
Do đó
(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca).
Bây giờ, sử dụng 1
đánh giá quen thuộc
ab+bc+ca \ge \sqrt{3abc(a+b+c)}=\sqrt{3(a+b+c)} ta có
(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}.
Như vậy, bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
\frac{8}{9}(a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)} \ge 4(a+b+c-1).
Đặt
t=\sqrt{3(a+b+c)}, bất đẳng thức sẽ được viết lại là
\frac{8}{27}.t^2.t \ge \frac{4}{3}.t^2-4,
hay tương đương
4t^3+4t^3+108 \ge 36t^2.
Hiển nhiên đúng theo
AM-GM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a=b=c=1. \ \blacksquare
Bài toán được chứng minh xong :).
Bài viết liên quan chuyên mục :
Bất đẳng thức
- Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a)\ge 4(a+b+c-1).
- Cho \ a,b,c là ba số thực với \ c>0 thỏa mãn: \ a^2+ab+b^2=3c^2. Chứng minh: a^3+b^3+4abc \le 6c^3
- Chứng minh rằng, nếu x,y,z là ba số thực dương sao cho xyz=1, thì \sqrt{\frac{x}{x^3+8}}+\sqrt{\frac{y}{y^3+8}}+ \sqrt{ \frac{z}{z^3+8}}\ge \frac{9}{(x+y+z)^2}.
- Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=1.
Chứng minh rằng: \left (\dfrac{a+b+c}{3}\right)^{5}\geq \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}
- Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a+b+c)^2 \ge 4\sqrt{3abc(a+b+c)}
- Cho a,\ b,\ c là các số thực dương. Chứng minh rằng \left(abc+1\right)\left(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \right) + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a} \ge a+b+c +6
- Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh rằng: \frac{1}{3}\left(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+ \frac{xy}{z^2}\right)+\left(\frac{xyz(x+y+z)}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\right)^2 \ge 2
(Đề OLP 30-4 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định 2012) - Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a^2+b^2+c^2=3. Chứng minh rằng: \dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c} \ge 3
- Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng khi đó ta có \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt[4]{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}} \ge 4\sqrt[4]{2}
- Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thì: \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right)\geq4
0 nhận xét:
Đăng nhận xét