Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 4\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}$$ hay là $$(1+a)^4(1+b)^4(1+c)^4\ge 512 \cdot (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2).$$ Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$,
ta có $$(1+a)^4=[2a+(1+a^2)]^2\ge 8\cdot a(1+a^2)$$ Hoàn toàn tương tự, ta cũng có $$(1+b)^4\ge 8\cdot b(1+b^2)$$ $$(1+c)^4\ge 8\cdot c(1+c^2)$$ Nhân tương ứng ba đánh giá trên lại với nhau ta sẽ thu được điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét