Lời giải
Cách 1.
Ta có bất đẳng thức sau đây đúng
\dfrac{1}{2-a} \ge \dfrac{a^2+1}{2}, bởi vì nó tương đương a(a-1)^2 \ge 0.
Thiết lập hai biểu thức tương tự rồi cộng lại, ta có
\dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c} \ge \dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3. Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
Cách 2.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c} \ge 3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)} = \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-3}. Do đó, ta chỉ cần chỉ ra \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-3} \ge 3, tương đương
(a+b+c)^2+9 \ge 6(a+b+c). Hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
Cách 3.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\ge 3.
Ta sẽ chứng minh
\dfrac{9}{2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)-\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)}\ge 3.
Thậy vậy, bất đẳng thức này tương đương
{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3\ge 2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right),
hay
\left( {{a}^{4}}+{{a}^{2}} \right)+\left( {{b}^{4}}+{{b}^{2}} \right)+\left( {{c}^{4}}+{{c}^{2}} \right)\ge 2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)
Hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và đánh giá trên, ta có
\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\ge \,\dfrac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}}{2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)-\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)}\ge 3
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
Cách 1.
Ta có bất đẳng thức sau đây đúng
\dfrac{1}{2-a} \ge \dfrac{a^2+1}{2}, bởi vì nó tương đương a(a-1)^2 \ge 0.
Thiết lập hai biểu thức tương tự rồi cộng lại, ta có
\dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c} \ge \dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3. Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
Cách 2.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c} \ge 3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)} = \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-3}. Do đó, ta chỉ cần chỉ ra \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-3} \ge 3, tương đương
(a+b+c)^2+9 \ge 6(a+b+c). Hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
Cách 3.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\ge 3.
Ta sẽ chứng minh
\dfrac{9}{2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)-\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)}\ge 3.
Thậy vậy, bất đẳng thức này tương đương
{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3\ge 2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right),
hay
\left( {{a}^{4}}+{{a}^{2}} \right)+\left( {{b}^{4}}+{{b}^{2}} \right)+\left( {{c}^{4}}+{{c}^{2}} \right)\ge 2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)
Hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và đánh giá trên, ta có
\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\ge \,\dfrac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}}{2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)-\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)}\ge 3
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. \ \blacksquare
0 nhận xét:
Đăng nhận xét