Lời giải
Mình giới thiệu với các bạn một lời giải rất hay của anh Trần Quốc Anh.
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là
\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2} \left(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right) \ge 7
Do \dfrac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} =2+\dfrac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}nên bất đẳng thức trên có thể viết lại thành
\frac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right) \ge 5
Hay
\dfrac{8(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge 10 \ (1)
Để bài toán trở nên đơn giản hơn, ta nên tìm cách giảm bớt số đại lượng khác nhau.
Cụ thể là ở đây, ta sẽ thử đánh giá thế nào đó để đưa đại lượng \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}
về \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.
Điều này gợi cho ta ý tưởng sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng x+y \ge 2\sqrt{xy}. Thật vậy, dễ thấy
\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge 2
Suy ra
\frac{8(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \ge 16-\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}
Sử dụng đánh giá này, ta sẽ quy (1) về việc chứng minh
\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \ge \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}-6
Tương đương với
\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3 \ge 9\left( \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1\right)
Hay
\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{abc} \ge \frac{9(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{ab+bc+ca}
Sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
Ta suy ra bất đẳng thức trên có thể viết lại thành
(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\left(\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{ab+bc+ca}\right) \ge 0
Do a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \dfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \ge 0
Nên chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{ab+bc+ca} \ge 0
Hay
(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc
Điều này là hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM bộ ba số,
(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt{a^2b^2c^2}=9abc
Bài toán được giải quyết hoàn toàn.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. \ \blacksquare
0 nhận xét:
Đăng nhận xét