Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $xy \le \dfrac{(x+y)^2}{4}$, ta có: $$4(5a+b).5(b^2+4ca) \le \dfrac{(20a+4b+5b^2+20ca)^2}{4}.$$ Như vậy, bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
$$\frac{1}{20}.\frac{{{(20a+4b+5{{b}^{2}}+20ca)}^{2}}}{4}\le 80,$$ tức là $$20a+4b+5b^2+20ca \le 80.$$ Thật vậy, từ giả thiết ta có $b \le 3$, suy ra $5b^2 \le 5b.3=15b \le 16 b,$ do đó $$\begin{align}
20a+4b+5{{b}^{2}}+20ca & \le 20a+4b+16b+20ca \\
& \le 20\left( a+b \right)+20c\left( a+b \right) \\
& =20\left( 3-c \right)+20c\left( 3-c \right) \\
& =-20{{\left( c-1 \right)}^{2}}+80 \\
& \le 80. \\
\end{align}$$ Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=2, \ b=0, \ c=1 \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét