Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng $$\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)} \ge \sqrt{abc}+\sqrt{a^3+b^3+c^3+abc}$$ (Trần Quốc Anh)

Lời giải
Cách 1:
Nhìn thấy căn, ngứa mắt quá, bình phương 2 vế phá nó thôi ^^!
Bình phương hai vế, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$ab\left( a+b \right)+bc\left( b+c \right)+ca\left( c+a \right)\ge 2abc+2\sqrt{abc\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+abc \right)}.$$ Vẫn còn căn thức à?
Phá tiếp ! Chuyển $2abc$ sang vế trái, dễ thấy vế trái vẫn dương. Tiếp tục bình phương 2 vế, nhưng để cho gọn ta đặt $$T=ab\left( a+b \right)+bc\left( b+c \right)+ca\left( c+a \right),$$ thì ta có $${{\left( T-2abc \right)}^{2}}\ge 4abc\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+abc \right),$$ hay là $$\begin{align}    {{T}^{2}} & \ge 4abc\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+T \right) \\  & =4abc\left[ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+ab\left( a+b \right)+bc\left( b+c \right)+ca\left( c+a \right) \right] \\  & =4abc\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right). \\ \end{align}$$ Thế là mất hết sạch căn rồi. Đến đoạn mình làm tiếp sau đây, mình chịu không thể phân tích cho mọi người hiểu ý tưởng được nữa vì hoàn toàn do cảm giác cá nhân >.<
Không mất tính tổng quát, giả sử $c \ge a \ge b.$ Khi đó ta có $$\left\{ \begin{align}   & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le {{a}^{2}}+ab+{{c}^{2}} \\  & {{a}^{2}}+ab+ac\le {{a}^{2}}+cb+ac \\ \end{align} \right..$$ Sử dụng đánh giá này, kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc $4xy \le (x+y)^2$, ta có $$\begin{align}    4abc\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) & =4bc\left( {{a}^{2}}+ab+ac \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \\  & \le 4bc\left( {{a}^{2}}+cb+ac \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{c}^{2}} \right) \\  & =4\left( {{a}^{2}}c+{{c}^{2}}b+{{c}^{2}}a \right)\left( {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}a+{{c}^{2}}b \right) \\  & \le {{\left[ {{a}^{2}}c+{{c}^{2}}b+{{c}^{2}}a+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}a+{{c}^{2}}b \right]}^{2}} \\  & ={{\left[ ab\left( a+b \right)+bc\left( b+c \right)+ca\left( c+a \right) \right]}^{2}} \\  & ={{T}^{2}}. \\ \end{align}$$ Đó chính là điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c. \ \blacksquare$
Cách 2: Một lời giải khá thú vị của bạn Chu Văn An - toanphothong.vn
Không mất tính tổng quát giả sử $b$ là số ở giữa $a$ và $c$ khi đó ta có : $$(b-a)(b-c) \le 0 \Rightarrow  b^2+ac \le b(a+c).$$ Từ đó ta có : $$\begin{align} a^3+b^3+c^3+abc & =a^3+c^3+b(b^2+ca) \\ & \le a^3+c^3+b^2(a+c)\\ &=(a+c)(a^2+b^2+c^2-ac). \end{align}$$ Đến đây ta quy về chứng minh bài toán mạnh hơn là : $$\sqrt{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} \ge \sqrt{abc} +\sqrt{(a+c)(a^2+b^2+c^2-ac)}.$$ Rõ ràng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có $$\begin{align} \left(\sqrt{abc} +\sqrt{(a+c)(a^2+b^2+c^2-ac)}\right)^2 & \le (ac+a^2+b^2+c^2-ac)(b+a+c) \\&=\text{VT}. \end{align}$$ Bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c. \ \blacksquare$

Chuyên mục: Bất đẳng thức

Họ và tên	Tăng Hải Tuân
Sinh viên	Lớp CLC - Khóa 61 - Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Hà Nội
Quê quán	Thái Dương - Thái Thụy - Thái Bình
Website	http://vatliphothong.vn
Blog	http://tanghaituan.blogspot.com
Facebook	https://www.facebook.com/TangHaiTuan.Physics
Liên hệ	01696269624