Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{3}{(a+b)^2}+c^2}+\sqrt{\dfrac{3}{(b+c)^2}+a^2}+\sqrt{\dfrac{3}{(c+a)^2}+b^2}\ge \dfrac{3\sqrt{7}}{2}.$$

Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $$\frac{1}{\sqrt{7}}\sqrt{\left( 3+4 \right)\left[ \frac{3}{{{(a+b)}^{2}}}+{{c}^{2}} \right]}\ge \frac{1}{\sqrt{7}}\left[ \frac{3}{a+b}+2c \right].$$ Ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau : $$\dfrac{1}{a+b}+ \dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{c+a}+ \dfrac{2}{3}(a+b+c)\ge \dfrac{7}{2},$$ hay tương đương (sau khi nhân hai vế với  $a+b+c$) : $$3+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} + \frac{2}{3}{{\left( a+b+c \right)}^{2}} \ge \frac{7}{2}\left( a+b+c \right)$$ Đặt $t=a+b+c$ ta có $\sqrt{3} < t \le 3$ và $4t^2+3t-6>4.3+3.\sqrt{3}-6>0$. Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có: $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{2\left( ab+bc+ca \right)} = \frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}-3}.$$ Bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra được $$3+\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}-3}+\frac{2}{3}{{t}^{2}} \ge \frac{7}{2}t.$$ Thật vậy, ta có $$3 + \frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}-3} + \frac{2}{3}{{t}^{2}} - \frac{7}{2}t = \frac{{{\left( t-3 \right)}^{2}}\left( 4{{t}^{2}}+3t-6 \right)}{6\left( {{t}^{2}}-3 \right)}\ge 0.$$ Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$

Chuyên mục: Bất đẳng thức

Họ và tên	Tăng Hải Tuân
Sinh viên	Lớp CLC - Khóa 61 - Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Hà Nội
Quê quán	Thái Dương - Thái Thụy - Thái Bình
Website	http://vatliphothong.vn
Blog	http://tanghaituan.blogspot.com
Facebook	https://www.facebook.com/TangHaiTuan.Physics
Liên hệ	01696269624