Lời giải
Như thường lệ, công việc đầu tiên là ta sẽ dự đoán đẳng thức xảy ra, và từ đó tìm hướng giải quyết cho bài toán.
Thông thường, đối với những bài toán mà bất đẳng thức cần chứng minh có dạng hoán vị hoặc đối xứng, ta sẽ dự đoán đẳng thức xảy ra tại các biến bằng nhau. Tuy nhiên, ở bài toán này, ta dễ kiểm chứng thấy đẳng thức không xảy ra tại $a=b=c=1$.
Một cách cảm tính, ta thấy đẳng thức xảy ra tại $\left( a,b,c \right)=\left\{ \left( 0,1,2 \right);\left( 1,2,0 \right);\left( 2,0,1 \right) \right\}.$
Tuy nhiên, không phải ai cũng có nhận xét như thế được.
Bây giờ ta sẽ lí giải vì sao tìm ra được nó!
Vì $a,b,c\ge 0$ và đẳng thức không xảy ra tại $a=b=c=1$ nên ta sẽ dự đoán đẳng thức xảy ra khi một biến bằng $0$. Giả sử $a=0$ chẳng hạn. Khi đó, $b+c=3$ và ta cần chứng minh rằng $$\frac{b}{{{c}^{3}}+16}+\frac{c}{16}\ge \frac{1}{6}.$$ Đây là bài toán với 2 biến, và hoàn toàn có thể đưa về một biến được vì từ $b+c=3$ ta có thể rút ra $b=3-c$. Hẳn sẽ có bạn hỏi vì sao lại rút $b$ theo $c$ chứ không phải rút $c$ theo $b$? Rất đơn giản, rút $b$ theo $c$để giảm nhẹ việc tính toán đi. Ta cần chứng minh $$\frac{3-c}{{{c}^{3}}+16}+\frac{c}{16}\ge \frac{1}{6}.$$ Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với $$\frac{{{\left( c-2 \right)}^{2}}\left( 3{{c}^{2}}+4c+4 \right)}{48\left( {{c}^{3}}+16 \right)}\ge 0.$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng, và đẳng thức xảy ra khi $c=2$.
Vậy đẳng thức xảy ra khi $\left( a,b,c \right)=\left( 0,1,2 \right)$.
Hoàn toàn tương tự, khi cho $b=0$ ta sẽ tìm được $a=2,c=1$.
Khi cho $c=0$ ta sẽ tìm được $a=1,c=2$.
Như vậy đẳng thức xảy ra tại $\left( a,b,c \right)=\left\{ \left( 0,1,2 \right);\left( 1,2,0 \right);\left( 2,0,1 \right) \right\}.$ Kết thúc dự đoán.
Nhờ dự đoán được đẳng thức xảy ra khi ít nhất có một biến bằng $0$, hơn thế , bậc của mẫu số lớn hơn tử vậy tại sao chúng ta không nhớ đến kĩ thuật AM-GM ngược dấu nhỉ?
Viết bất đẳng thức đã cho về dạng: $$\frac{16a}{{{b}^{3}}+16}+\frac{16b}{{{c}^{3}}+16}+\frac{16c}{{{a}^{3}}+16}\ge \frac{8}{3}.$$ Bây giờ ta để ý rằng: $$\frac{16a}{{{b}^{3}}+16}=a-\frac{a{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}+16}$$, như thế dùng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $$\frac{16a}{{{b}^{3}}+16}=a-\frac{a{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}+8+8}\ge a-\frac{a{{b}^{3}}}{3\sqrt[3]{{{b}^{3}}.8.8}}\ge a-\frac{a{{b}^{2}}}{12}$$
Chú ý rằng đánh giá này đẳng thức xảy ra tại $a=0,b=2.$
Tương tự như vậy:
$$\frac{16b}{{{c}^{3}}+16}=b-\frac{b{{c}^{3}}}{{{c}^{3}}+8+8}\ge b-\frac{b{{c}^{3}}}{3\sqrt[3]{{{c}^{3}}.8.8}}\ge b-\frac{b{{c}^{2}}}{12}\text{ }\left( 2 \right)$$
$$\frac{16c}{{{a}^{3}}+16}=c-\frac{c{{a}^{3}}}{{{a}^{3}}+8+8}\ge c-\frac{c{{a}^{3}}}{3\sqrt[3]{{{a}^{3}}.8.8}}\ge c-\frac{c{{a}^{2}}}{12}\text{ }\left( 3 \right)$$
Đánh giá $\left( 2 \right)$ đẳng thức khi $b=0,c=2.$
Đánh giá $\left( 3 \right)$ đẳng thức khi $c=0,a=2.$
Như vậy, các đánh giá bằng kĩ thuật AM-GM ngược dấu hoàn toàn đảm bảo dấu bằng!
Cộng ba bất đẳng thức trên lại ta sẽ phải chứng minh: $$a+b+c-\frac{a{{b}^{2}}}{12}-\frac{b{{c}^{2}}}{12}-\frac{c{{a}^{2}}}{12}\ge \frac{8}{3}.$$
Với chú ý $a+b+c=3$ nữa thì ta chỉ cần chứng minh: $$a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}\le 4.$$
Bất đẳng thức này thuộc dạng quen thuộc, để chứng minh nó ta giả sử $b$ là số ở giữa ba số$a,b,c$. Khi đó ta có $$a\left( b-a \right)\left( b-c \right)\le 0\Rightarrow a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}\le b\left( {{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}} \right)\le b{{\left( a+c \right)}^{2}}.$$
Bây giờ chỉ cần chứng minh: $b{{\left( a+c \right)}^{2}}\le 4$ nữa là xong. Thật vậy, theo AM-GM, ta có $$b{{\left( a+c \right)}^{2}}=\frac{1}{2}.2b\left( a+c \right)\left( a+c \right)\le \frac{1}{2.27}{{\left( 2b+a+c+a+c \right)}^{3}}=4.$$
Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi $\left( a,b,c \right)=\left\{ \left( 0,1,2 \right);\left( 1,2,0 \right);\left( 2,0,1 \right) \right\}. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét