Lời giải
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c$. Khi đó ta có $3 \ge a \ge 1, \ bc \le a^2$ và $$\begin{align}
{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+abc&={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+bc\left( bc+a.1 \right) \\
& \le {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+bc\left( {{a}^{2}}+a.a \right) \\
& ={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}bc \\
& ={{a}^{2}}{{\left( b+c \right)}^{2}}. \\
\end{align}$$ Mặt khác, vì
$c \ge 0$ nên ta có $${{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( b+c \right)}^{3}}-3bc\left( b+c \right)\le {{\left( b+c \right)}^{3}}.$$ Từ các đánh giá trên, ta có $$\begin{align}
\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+abc \right) & \le \left[ {{a}^{3}}+{{\left( b+c \right)}^{3}} \right]{{a}^{2}}{{\left( b+c \right)}^{2}} \\
& =\left[ {{a}^{3}}+{{\left( 3-a \right)}^{3}} \right]{{a}^{2}}{{\left( 3-a \right)}^{2}} \\
& =36+9{{\left( a-2 \right)}^{2}}{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( {{a}^{2}}-3a-1 \right) \\
& \le 36+9{{\left( a-2 \right)}^{2}}{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 3a-3a-1 \right) \\
& =36-9{{\left( a-2 \right)}^{2}}{{\left( a-1 \right)}^{2}} \\
& \le 36. \\
\end{align}$$ Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi $a=2, \ b=1, \ c=0$ hoặc các hoán vị. $\blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét