Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$(a^3+b^3+c^3)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc) \le 36.$$

Lời giải
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge  c$. Khi đó ta có $3 \ge a \ge 1, \ bc \le a^2$ và $$\begin{align}    {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+abc&={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+bc\left( bc+a.1 \right) \\  & \le {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+bc\left( {{a}^{2}}+a.a \right) \\  & ={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}bc \\  & ={{a}^{2}}{{\left( b+c \right)}^{2}}. \\ \end{align}$$ Mặt khác, vì
$c \ge 0$ nên ta có $${{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( b+c \right)}^{3}}-3bc\left( b+c \right)\le {{\left( b+c \right)}^{3}}.$$ Từ các đánh giá trên, ta có $$\begin{align}    \left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}+abc \right) & \le \left[ {{a}^{3}}+{{\left( b+c \right)}^{3}} \right]{{a}^{2}}{{\left( b+c \right)}^{2}} \\  & =\left[ {{a}^{3}}+{{\left( 3-a \right)}^{3}} \right]{{a}^{2}}{{\left( 3-a \right)}^{2}} \\  & =36+9{{\left( a-2 \right)}^{2}}{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( {{a}^{2}}-3a-1 \right) \\  & \le 36+9{{\left( a-2 \right)}^{2}}{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 3a-3a-1 \right) \\  & =36-9{{\left( a-2 \right)}^{2}}{{\left( a-1 \right)}^{2}} \\  & \le 36. \\ \end{align}$$ Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi $a=2, \ b=1, \ c=0$ hoặc các hoán vị. $\blacksquare$

Chuyên mục: Bất đẳng thức

Họ và tên	Tăng Hải Tuân
Sinh viên	Lớp CLC - Khóa 61 - Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Hà Nội
Quê quán	Thái Dương - Thái Thụy - Thái Bình
Website	http://vatliphothong.vn
Blog	http://tanghaituan.blogspot.com
Facebook	https://www.facebook.com/TangHaiTuan.Physics
Liên hệ	01696269624