Bài làm
Đặt $a=\dfrac{1}{x}, \ b=\dfrac{1}{y}, \ c=\dfrac{1}{z}$, ta cần chứng minh $$\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \right) + \left( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \right)^2 \ge 2.$$ Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và bất đẳng thức quen thuộc $3abc(a+b+c) \le (ab+bc+ca)^2$, ta có $$\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \right) \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3abc(a+b+c)} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ca)^2}.$$ Do đó, bất đẳng thức sẽ được chứng minh
nếu ta chỉ ra được $$\left( \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right)^2 + \left( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \right)^2 \ge 2.$$ Hiển nhiên đúng theo $AM-GM.$
Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay $x=y=z. \ \blacksquare$
Đặt $a=\dfrac{1}{x}, \ b=\dfrac{1}{y}, \ c=\dfrac{1}{z}$, ta cần chứng minh $$\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \right) + \left( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \right)^2 \ge 2.$$ Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và bất đẳng thức quen thuộc $3abc(a+b+c) \le (ab+bc+ca)^2$, ta có $$\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \right) \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3abc(a+b+c)} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ca)^2}.$$ Do đó, bất đẳng thức sẽ được chứng minh
nếu ta chỉ ra được $$\left( \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right)^2 + \left( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \right)^2 \ge 2.$$ Hiển nhiên đúng theo $AM-GM.$
Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay $x=y=z. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét