Cho $x, y, z$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{3}\left(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+ \frac{xy}{z^2}\right)+\left(\frac{xyz(x+y+z)}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\right)^2 \ge 2$$ (Đề OLP 30-4 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định 2012)

Bài làm

Đặt $a=\dfrac{1}{x}, \ b=\dfrac{1}{y}, \ c=\dfrac{1}{z}$, ta cần chứng minh $$\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \right) + \left( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \right)^2 \ge 2.$$ Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và bất đẳng thức quen thuộc $3abc(a+b+c) \le (ab+bc+ca)^2$, ta có $$\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \right) \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3abc(a+b+c)} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ca)^2}.$$ Do đó, bất đẳng thức sẽ được chứng minh
nếu ta chỉ ra được $$\left( \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right)^2 + \left( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \right)^2 \ge 2.$$ Hiển nhiên đúng theo $AM-GM.$
Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay $x=y=z. \ \blacksquare$

Chuyên mục: Bất đẳng thức

Họ và tên	Tăng Hải Tuân
Sinh viên	Lớp CLC - Khóa 61 - Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Hà Nội
Quê quán	Thái Dương - Thái Thụy - Thái Bình
Website	http://vatliphothong.vn
Blog	http://tanghaituan.blogspot.com
Facebook	https://www.facebook.com/TangHaiTuan.Physics
Liên hệ	01696269624