Lời giải
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn (với cùng giả thiết) là $$3(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}) \le\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab} $$Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab} \ge \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}.$$ Do đó bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được $$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c} \ge 3abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).$$ Đồng bậc hóa bất đẳng thức, ta cần chứng minh $$(ab+bc+ca)(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}) \ge 3abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}),$$ hay là $$a^2(b+c)\sqrt{a}+b^2(c+a)\sqrt{b}+c^2(a+b)\sqrt{c} \ge 2abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).$$ Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ dạng $x+y \ge 2\sqrt{xy},$ ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là $$\sqrt{abc}({a^2+b^2+c^2}) \ge abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}),$$ hay $$a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).$$ Thật vậy, sử dụng 2 lần bất đẳng thức quen thuộc $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ ta có $$\begin{align} {{a}^{2}}+b^2+c^2& \ge ab+bc+ca \\ & \ge \sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{bc}.\sqrt{ca}+\sqrt{ca}.\sqrt{ab} \\
& =\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). \\
\end{align}$$Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c. \ \blacksquare$
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn (với cùng giả thiết) là $$3(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}) \le\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab} $$Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab} \ge \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}.$$ Do đó bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được $$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c} \ge 3abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).$$ Đồng bậc hóa bất đẳng thức, ta cần chứng minh $$(ab+bc+ca)(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}) \ge 3abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}),$$ hay là $$a^2(b+c)\sqrt{a}+b^2(c+a)\sqrt{b}+c^2(a+b)\sqrt{c} \ge 2abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).$$ Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ dạng $x+y \ge 2\sqrt{xy},$ ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là $$\sqrt{abc}({a^2+b^2+c^2}) \ge abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}),$$ hay $$a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).$$ Thật vậy, sử dụng 2 lần bất đẳng thức quen thuộc $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ ta có $$\begin{align} {{a}^{2}}+b^2+c^2& \ge ab+bc+ca \\ & \ge \sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{bc}.\sqrt{ca}+\sqrt{ca}.\sqrt{ab} \\
& =\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). \\
\end{align}$$Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét