Lời giải
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn (với cùng giả thiết) là 3(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}) \le\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab} Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab} \ge \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}. Do đó bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c} \ge 3abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). Đồng bậc hóa bất đẳng thức, ta cần chứng minh (ab+bc+ca)(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}) \ge 3abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}), hay là a^2(b+c)\sqrt{a}+b^2(c+a)\sqrt{b}+c^2(a+b)\sqrt{c} \ge 2abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng x+y \ge 2\sqrt{xy}, ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là \sqrt{abc}({a^2+b^2+c^2}) \ge abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}), hay a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). Thật vậy, sử dụng 2 lần bất đẳng thức quen thuộc x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx ta có \begin{align} {{a}^{2}}+b^2+c^2& \ge ab+bc+ca \\ & \ge \sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{bc}.\sqrt{ca}+\sqrt{ca}.\sqrt{ab} \\ & =\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). \\ \end{align}Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. \ \blacksquare
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn (với cùng giả thiết) là 3(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}) \le\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab} Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab} \ge \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}. Do đó bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c} \ge 3abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). Đồng bậc hóa bất đẳng thức, ta cần chứng minh (ab+bc+ca)(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}) \ge 3abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}), hay là a^2(b+c)\sqrt{a}+b^2(c+a)\sqrt{b}+c^2(a+b)\sqrt{c} \ge 2abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng x+y \ge 2\sqrt{xy}, ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là \sqrt{abc}({a^2+b^2+c^2}) \ge abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}), hay a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). Thật vậy, sử dụng 2 lần bất đẳng thức quen thuộc x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx ta có \begin{align} {{a}^{2}}+b^2+c^2& \ge ab+bc+ca \\ & \ge \sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{bc}.\sqrt{ca}+\sqrt{ca}.\sqrt{ab} \\ & =\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}). \\ \end{align}Bài toán được chứng minh xong ;).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. \ \blacksquare
0 nhận xét:
Đăng nhận xét