Lời giải
Dự đoán điểm rơi tại $a=1, \ b=2, \ c=3$.
Thật vậy, giả thiết cho $a+b \ge c$ và $c \ge b+1$ và $c \ge 3 \ge b \ge a$ thì kiểu gì mình chả dùng đến.
Coi như mình đã dùng, thì mình có $a+b=c, \ c=b+1, \ c=3.$ Từ đó có được $a=1, \ b=2, \ c=3.$
Quay trở lại bài toán, từ giả thiết, ta có $a+b \ge c \ge b + 1 \ge a+ 1.$ Từ đó $a +b \ge b+ 1, \ a+b \ge a+1,$ hay $a \ge 1, \ b \ge 1.$ Suy ra $(a-1)(b-1) \ge 0,$ tương đương $$ab+1 \ge a+b.$$ Bất đẳng thức này khá chặt và hữu dụng. Từ nó mà ta có thêm $$ab+1 \ge a+b \ge c .$$ Hơn nữa, nó còn thỏa mãn đẳng thức tại $a=1$ mà ta đã dự đoán ở trên. Như vậy, ta có đánh giá $$\begin{align}
Q & \ge \frac{2ab+c+abc-c}{\left( ab+1+a+b \right)\left( c+1 \right)} \\
& \ge \frac{ab\left( 2+c \right)}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\
& =\frac{\left( ab+1 \right)\left( 2+c \right)-\left( 2+c \right)}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\
& =\frac{2+c}{2\left( c+1 \right)}-\frac{2+c}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\
& \ge \frac{2+c}{2\left( c+1 \right)}-\frac{2+c}{2c\left( c+1 \right)} \\
& =\frac{\left( c-3 \right)\left( c+4 \right)}{12c\left( c+1 \right)}+\frac{5}{12} \\
& \ge \frac{5}{12}. \\
\end{align}$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1, \ b=2, \ c=3.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ là $\dfrac{5}{12}. \ \blacksquare$
Dự đoán điểm rơi tại $a=1, \ b=2, \ c=3$.
Thật vậy, giả thiết cho $a+b \ge c$ và $c \ge b+1$ và $c \ge 3 \ge b \ge a$ thì kiểu gì mình chả dùng đến.
Coi như mình đã dùng, thì mình có $a+b=c, \ c=b+1, \ c=3.$ Từ đó có được $a=1, \ b=2, \ c=3.$
Quay trở lại bài toán, từ giả thiết, ta có $a+b \ge c \ge b + 1 \ge a+ 1.$ Từ đó $a +b \ge b+ 1, \ a+b \ge a+1,$ hay $a \ge 1, \ b \ge 1.$ Suy ra $(a-1)(b-1) \ge 0,$ tương đương $$ab+1 \ge a+b.$$ Bất đẳng thức này khá chặt và hữu dụng. Từ nó mà ta có thêm $$ab+1 \ge a+b \ge c .$$ Hơn nữa, nó còn thỏa mãn đẳng thức tại $a=1$ mà ta đã dự đoán ở trên. Như vậy, ta có đánh giá $$\begin{align}
Q & \ge \frac{2ab+c+abc-c}{\left( ab+1+a+b \right)\left( c+1 \right)} \\
& \ge \frac{ab\left( 2+c \right)}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\
& =\frac{\left( ab+1 \right)\left( 2+c \right)-\left( 2+c \right)}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\
& =\frac{2+c}{2\left( c+1 \right)}-\frac{2+c}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\
& \ge \frac{2+c}{2\left( c+1 \right)}-\frac{2+c}{2c\left( c+1 \right)} \\
& =\frac{\left( c-3 \right)\left( c+4 \right)}{12c\left( c+1 \right)}+\frac{5}{12} \\
& \ge \frac{5}{12}. \\
\end{align}$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1, \ b=2, \ c=3.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ là $\dfrac{5}{12}. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét