Lời giải
Dự đoán điểm rơi tại a=1, \ b=2, \ c=3.
Thật vậy, giả thiết cho a+b \ge c và c \ge b+1 và c \ge 3 \ge b \ge a thì kiểu gì mình chả dùng đến.
Coi như mình đã dùng, thì mình có a+b=c, \ c=b+1, \ c=3. Từ đó có được a=1, \ b=2, \ c=3.
Quay trở lại bài toán, từ giả thiết, ta có a+b \ge c \ge b + 1 \ge a+ 1. Từ đó a +b \ge b+ 1, \ a+b \ge a+1, hay a \ge 1, \ b \ge 1. Suy ra (a-1)(b-1) \ge 0, tương đương ab+1 \ge a+b. Bất đẳng thức này khá chặt và hữu dụng. Từ nó mà ta có thêm ab+1 \ge a+b \ge c . Hơn nữa, nó còn thỏa mãn đẳng thức tại a=1 mà ta đã dự đoán ở trên. Như vậy, ta có đánh giá \begin{align} Q & \ge \frac{2ab+c+abc-c}{\left( ab+1+a+b \right)\left( c+1 \right)} \\ & \ge \frac{ab\left( 2+c \right)}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\ & =\frac{\left( ab+1 \right)\left( 2+c \right)-\left( 2+c \right)}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\ & =\frac{2+c}{2\left( c+1 \right)}-\frac{2+c}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\ & \ge \frac{2+c}{2\left( c+1 \right)}-\frac{2+c}{2c\left( c+1 \right)} \\ & =\frac{\left( c-3 \right)\left( c+4 \right)}{12c\left( c+1 \right)}+\frac{5}{12} \\ & \ge \frac{5}{12}. \\ \end{align} Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=1, \ b=2, \ c=3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \dfrac{5}{12}. \ \blacksquare
Dự đoán điểm rơi tại a=1, \ b=2, \ c=3.
Thật vậy, giả thiết cho a+b \ge c và c \ge b+1 và c \ge 3 \ge b \ge a thì kiểu gì mình chả dùng đến.
Coi như mình đã dùng, thì mình có a+b=c, \ c=b+1, \ c=3. Từ đó có được a=1, \ b=2, \ c=3.
Quay trở lại bài toán, từ giả thiết, ta có a+b \ge c \ge b + 1 \ge a+ 1. Từ đó a +b \ge b+ 1, \ a+b \ge a+1, hay a \ge 1, \ b \ge 1. Suy ra (a-1)(b-1) \ge 0, tương đương ab+1 \ge a+b. Bất đẳng thức này khá chặt và hữu dụng. Từ nó mà ta có thêm ab+1 \ge a+b \ge c . Hơn nữa, nó còn thỏa mãn đẳng thức tại a=1 mà ta đã dự đoán ở trên. Như vậy, ta có đánh giá \begin{align} Q & \ge \frac{2ab+c+abc-c}{\left( ab+1+a+b \right)\left( c+1 \right)} \\ & \ge \frac{ab\left( 2+c \right)}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\ & =\frac{\left( ab+1 \right)\left( 2+c \right)-\left( 2+c \right)}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\ & =\frac{2+c}{2\left( c+1 \right)}-\frac{2+c}{2\left( ab+1 \right)\left( c+1 \right)} \\ & \ge \frac{2+c}{2\left( c+1 \right)}-\frac{2+c}{2c\left( c+1 \right)} \\ & =\frac{\left( c-3 \right)\left( c+4 \right)}{12c\left( c+1 \right)}+\frac{5}{12} \\ & \ge \frac{5}{12}. \\ \end{align} Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=1, \ b=2, \ c=3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \dfrac{5}{12}. \ \blacksquare
0 nhận xét:
Đăng nhận xét