Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là $$a^2+b^2+c^2-\frac{3+a+b+c}{2}+\frac{16}{ab+bc+ca+1} \ge 4. \ \ \ \ (1)$$ Bây giờ, giả sử $(a-1)(b-1) \ge 0$. Khi đó ta có
$ab+1 \ge a+b$ hay $1+c \ge ac+bc.$
Như vậy $$\begin{align}
{LHS}_{(1)}
& \ge 2ab+{{c}^{2}}-\frac{3+ab+1+c}{2}+\frac{16}{ab+c+1+1} \\
& =\frac{2}{c}+{{c}^{2}}-\frac{4+\frac{1}{c}+c}{2}+\frac{16c}{1+{{c}^{2}}+2c} \\
& =4+\frac{{{\left( c-1 \right)}^{2}}\left( 2{{c}^{3}}+7{{c}^{2}}+3 \right)}{2c{{\left( c+1 \right)}^{2}}} \\
& \ge 4. \\
\end{align}$$Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét