Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2$, ta có $ab+bc+ca \le 3$
Do đó, ta có
$$\begin{align} \frac{2}{ab+bc+ca+2}+\frac{3}{5}abc&=\frac{2}{ab+bc+ca+2}+\frac{abc(a+b+c)}{5} \\
& \le \frac{2}{ab+bc+ca+2}+\frac{{{(ab+bc+ca)}^{2}}}{15} \\
& =\frac{\left( ab+bc+ca-3 \right)\left( ab+bc+ca+5 \right)\left( ab+bc+ca \right)}{15\left( ab+bc+ca+2 \right)}+1 \\
& \le 1. \\
\end{align}$$Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ hoặc khi hai biến bằng $0$, biến còn lại bằng $3. \ \blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét