Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2$. Chứng minh rằng: $$ab+bc+ca \le 1+2abc$$

Lời giải
Đặt $S=a+b, \ P=ab$. Khi đó giả thiết được viết lại dưới dạng $S^2+c^2=2+2P$, suy ra $2P=S^2+c^2-2$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $$2Pc+1-P-Sc \ge 0,$$ hay $$\left( {{S}^{2}}+{{c}^{2}}-2 \right)c+1-\frac{{{S}^{2}}+{{c}^{2}}-2}{2}-Sc\ge 0,$$ có nghĩa là ta đi chứng minh $$f\left( S \right)=\left( 2c-1 \right).{{S}^{2}}-2c.S+2{{c}^{3}}-{{c}^{2}}-4c+4\ge 0.$$ Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử $c$ là số lớn nhất trong ba số $a, \ b, \ c.$ Khi đó dễ thấy $2 \le 3c^2$, suy ra $c \ge \sqrt{\dfrac{2}{3}}.$
Từ đó ta có ${{c}^{2}}+c-1\ge \frac{2}{3}+\sqrt{\frac{2}{3}}-1>0.$ Mặt khác, $$\left\{ \begin{align}   & 2c-1>2\sqrt{\frac{2}{3}}-1>0 \\  & {{\Delta }_{S}}^{\prime }={{c}^{2}}-\left( 2{{c}^{3}}-4c-{{c}^{2}}+4 \right)\left( 2c-1 \right)=-4{{\left( c-1 \right)}^{2}}\left( {{c}^{2}}+c-1 \right)\le 0 \\ \end{align} \right..$$ Nên, theo định lí dấu của tam thức bậc hai, ta có $f(S) \ge 0.$ Bài toán được chứng minh xong.
Với giả thiết $c$ là số lớn nhất, đẳng thức xảy ra khi $a=0, \ b=c=1$ hoặc $b=0, \ a=c=1. \ \blacksquare$

Chuyên mục: Bất đẳng thức, Phương pháp tam thức bậc hai

Họ và tên	Tăng Hải Tuân
Sinh viên	Lớp CLC - Khóa 61 - Khoa Vật lí - Đại học Sư phạm Hà Nội
Quê quán	Thái Dương - Thái Thụy - Thái Bình
Website	http://vatliphothong.vn
Blog	http://tanghaituan.blogspot.com
Facebook	https://www.facebook.com/TangHaiTuan.Physics
Liên hệ	01696269624