Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có : $$\begin{align}
y & =\sqrt{{{\cos }^{2}}x-2\cos x+3}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+6\cos x+13} \\
& \le \frac{{{\cos }^{2}}x-2\cos x+3+2}{2\sqrt{2}}+\frac{{{\cos }^{2}}x+6\cos x+13+20}{2\sqrt{20}} \\
& =\sqrt{2}+2\sqrt{5}+\frac{\left( \cos x-1 \right)\left( \sqrt{5}\cos x+5\sqrt{2}\cos x+7\sqrt{5}-5\sqrt{2} \right)}{20} \\
& \le \sqrt{2}+2\sqrt{5}. \\
\end{align}$$ Đẳng thức xảy ra khi $cosx=1$ nên giá trị lớn nhất của $y$ là $\sqrt{2}+2\sqrt{5}. \ \blacksquare$
Câu hỏi đặt ra là học sinh lớp 10 sẽ dự đoán đẳng thức như thế nào? Nếu là học sinh 12, có công cụ đạo hàm thì công việc sẽ trở nên đơn giản hơn :).
Trước hết, biểu thức này chứa toàn căn, nên ý tưởng đầu tiên của ta là phá căn trước. Muốn phá căn thì một là bình phương, hai là sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$. Tuy nhiên ở bài này, $y^2$ vẫn còn xuất hiện căn, nên ta sẽ dùng phương án : sử dụng $AM-GM$ để phá căn ;). Vì ta chưa biết đẳng thức xảy ra khi nào, nên ta sẽ đưa tham số $a, \ b$ vào. Cho gọn, đặt $x=\cos t.$ Khi đó, sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta thu được : $$\begin{align}
y & =\sqrt{x-2x+3}+\sqrt{{{x}^{2}}+6x+13} \\
& =\frac{\sqrt{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)a}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{\left( {{x}^{2}}+6x+13 \right)b}}{\sqrt{b}} \\
& \le \frac{{{x}^{2}}-2x+3+a}{2\sqrt{a}}+\frac{{{x}^{2}}+6x+13+b}{2\sqrt{b}} \\
& =\left( \frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{2\sqrt{b}} \right){{x}^{2}}+\left( \frac{3}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{a}} \right)x+\frac{3+a}{2\sqrt{a}}+\frac{13+b}{2\sqrt{b}} \\
& =f(x),x\in \left[ -1;1 \right] \\
\end{align}$$ Rõ ràng $f(x)$ là một tam thức bậc hai, điều kiện cần để tam thức bậc hai này có cực trị là $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{\left( \frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{3}{\sqrt{b}} \right)}{2\left( \frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{2\sqrt{b}} \right)}=\frac{\sqrt{b}-3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$ Ngoài ra, điều kiện dấu bằng của bất đẳng thức $AM-GM$ cho ta $x^2-2x+3=a$ và $x^2+6x+13=b$. Thế hai giá trị này vào biểu thức trên, ta sẽ tìm được $x$.
Sau đó xét $f(-1), \ f(1)$ và $f(x_0)$ với $x_0$ là các nghiệm của phương trình trên, so sánh các giá trị với nhau, cái nào lớn nhất thì đó chính là giá trị lớn nhất cần tìm của bài toán :). $\blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét